PertanyaanTentukan himpunan penyelesaian persamaan eksponensial berikut. a. NP N. Puspita Master Teacher Jawaban terverifikasi Pembahasan a. Diketahui persamaan . Ingat bahwa, jika , maka penyelesaiannya sebagai berikut. dengan syarat genap dengan syarat dan Misal, , , dan , penyelesaian dari persamaan sebagai berikut. PertidaksamaanEksponen Lanjut. Pertidaksamaan eksponen lanjut maksudnya pertidaksamaan eksponen yang bentuknya selain bentuk sederhana di atas, misal bentuknya ( a f ( x)) m + a f ( x) + c ≥ 0 . Untuk menyelesaikan bentuk ini, biasanya kita misalkan dan akan mengarah ke suatu bentuk persamaan polinomial seperti persamaan kuadrat. Contohsoal persamaan eksponen. Contoh soal 1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 5 x + 1 = 25 3x - 4. Penyelesaian soal / pembahasan. Cara menjawab soal ini sebagai berikut: 5 x + 1 = 25 3x - 4. 5 x + 1 = 5 2 (3x - 4) 5 x + 1 = 5 6x - 8. x + 1 = 6x - 8 atau 6x - x = 1 + 9. Bab1.1 - Bentuk Akar, Eksponen, Logaritma. Kode Kategorisasi : . #backtoschool2019 —————— Sekian solusi mengenai Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut , saja dengan solusi ini dapat bantu selesein masalah kamu. Bila kamu masih mempunyai soal lainnya, tidak usah ragu untuk pakai menu pencarian yang Vay Tiền Nhanh Chỉ Cần Cmnd Nợ Xấu. Gimana sih, bentuk, sifat, serta rumus dari persamaan eksponen dan pertidaksamaan eksponen? Yuk, kita belajar cara menghitungnya bareng-bareng! 3 x 3 x 3 = 27 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 Siapa di sini yang masih nulis bentuk perkalian satu per satu kayak di atas? Gue yakin elo bukan salah satunya, sih, apalagi kalau udah lama belajar bareng Zenius. Ya… elo bayangin aja. Kalau angka 3 dikalikan sebanyak 3 atau 5 kali, mungkin masih gampang buat elo menuliskannya satu-satu. Tapi, gimana kalau angka 3-nya harus dikalikan sebanyak 15 kali? Wah, elo pasti bakal pegel sendiri. Karena itu, di Matematika, ada yang namanya eksponen atau bentuk perkalian berulang dari bilangan yang sama. Sederhananya, bentuk perkalian di atas bisa elo tuliskan menggunakan pangkat. Sehingga, bisa ditulis secara sederhana seperti ini 3 x 3 x 3 = 27 → 33 = 27 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 → 35 = 243 Gimana? Jadi lebih gampang ditulis dan enak dibaca, kan? Nah, kalau di materi Matematika kelas 10 sebelumnya elo udah belajar tentang grafik dan fungsi eksponen, kali ini elo perlu tahu cara menentukan persamaan dan pertidaksamaan eksponen. Persamaan EksponenSifat-Sifat Persamaan EksponenBentuk-Bentuk Persamaan EksponenPertidaksamaan EksponenBentuk Pertidaksamaan EksponenContoh Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen Sesuai namanya, persamaan eksponen ditandai dengan adanya tanda sama dengan =. Sementara, seperti yang udah gue bilang, eksponen adalah bentuk perkalian berulang yang bisa ditulis dengan pangkat. John Napier, salah satu tokoh yang mengembangkan notasi eksponensial. Arsip Zenius, Dok. Mathematical Association of America Terus, apa yang dimaksud persamaan eksponen? Memang ada eksponen yang nggak sama? Biar lebih gampang dipahami, gue kasih contoh langsung, ya. Misal, diketahui sebuah fungsi eksponen fx = 2x. Terus, gue ingin cari tahu, berapa nilai x ketika nilai fungsinya adalah 128. Secara matematis, penulisannya akan seperti di bawah ini. fx = 2x fx = 128 2x = 128 Nah, bentuk 2x = 128 inilah yang disebut sebagai persamaan eksponen. Dalam kasus ini, kita diminta buat mencari nilai x yang memenuhi persamaan. Selain buat menyederhanakan bentuk, penerapan persamaan eksponen dalam kehidupan sehari-hari bisa elo temuin di perhitungan bunga majemuk bidang Ekonomi. Misalnya, saat diketahui uang sebesar M rupiah ditabung dengan bunga p% per tahun, maka jumlah uang setelah tahun tertentu bisa dihitung pakai rumus H = M 1 + p/100t. Nggak hanya itu, persamaan eksponen juga digunakan untuk menghitung pertumbuhan populasi, peluruhan zat radioaktif, perubahan suhu logam, dan sebagainya. Wah, ternyata persamaan eksponen punya manfaat yang banyak banget. Bahkan, ada kaitannya sama bidang ilmu lain seperti Ekonomi, Geografi, dan Fisika. Bukan cuma manfaatnya, persamaan eksponen juga punya beberapa bentuk, antara lain 10x = 142x-1 = 2x3x-1x = 3x-14x-1 Pastinya, setiap bentuk persamaan eksponen ini punya cara penyelesaian yang berbeda-beda, bergantung sifatnya. Jadi, sebelum bahas bentuk persamaan eksponen lebih jauh, elo harus ingat dulu apa aja sifatnya. Langsung kita bahas, yuk! Baca Juga Pengertian Eksponen Beserta Sifat dan Contoh Soalnya Sifat-Sifat Persamaan Eksponen Sebenarnya, sifat-sifat persamaan eksponen nggak jauh beda sama sifat dari eksponen itu sendiri. Hayo, elo masih ingat nggak, apa aja sifatnya? Sini deh, gue kasih sedikit penjelasannya. 1. an . am = an+m, dalam bentuk perkalian, pangkat akan ditambah. 2. dalam bentuk pembagian, pangkat akan dikurangi. 3. abn = anbn, dalam bentuk ini masing-masing variabel mempunyai pangkat masing-masing. 4. dalam bentuk ini, penyebut dan pembilang mempunyai pangkat masing-masing. 5. a0 = 1, dalam bentuk pangkat 0 semua akan bernilai 1. 6. dalam ini, pangkat negatif menjadi penyebut. 7. anm = anm, jika ada di dalam kurung, pangkat akan dikalikan. 8. dalam bentuk ini, a menjadi akar dan n menjadi pangkat akar. Sebenarnya, sifat persamaan eksponen itu masih banyak banget. Tapi, delapan poin di atas jadi sifat yang penting dan mendasar buat elo pelajari. Karena umumnya, sifat eksponen lainnya berasal dari turunan kedelapan sifat di atas. Nah, elo udah tahu apa aja sifat yang dimiliki sama persamaan eksponen. Sekarang, waktunya buat cari tahu bentuk-bentuknya. Baca Juga Pengertian dan Jenis Fungsi Matematika Bentuk-Bentuk Persamaan Eksponen Di awal, gue udah menuliskan beberapa contoh bentuk persamaan eksponen. Secara detail, bentuk lainnya bakal gue bahas di bawah ini beserta cara pengerjaannya. afx = ap, a > 0, a ≠ 1, fx = p Biar lebih paham, gue kasih contoh soal persamaan eksponen yang menerapkan bentuk ini. 22x = 24 Elo bisa lihat rumus persamaan eksponen di atas, di mana syaratnya adalah a harus lebih besar dari 0 dan nilainya nggak sama dengan 1. Menurut elo, soal ini memenuhi syarat, nggak? Jelas iya, dong. Artinya, buat mengerjakan soal ini, elo bisa langsung pakai persamaan, Jadi, solusi dari persamaan eksponen ini adalah x = 2. afx = agx, a > 0, a ≠ 1, fx = gx Bentuk persamaan eksponen ini nggak beda jauh dengan yang sebelumnya. Di sini, bentuk p berubah menjadi fungsi gx. Coba elo lihat cara pengerjaannya di bawah. Contoh Selesaikan persamaan eksponen berikut 22x+1 = 2x-1 Menurut elo, persamaan eksponen di atas udah memenuhi syarat a > 0, a ≠ 1, fx = gx belum? Coba kita lihat, ya. Nilai a lebih dari besar dari 0 dan nggak sama dengan 1. Berarti, elo tinggal hitung pangkatnya aja buat mencari nilai x. Dari sini, diketahui nilai x dari persamaan eksponen di atas adalah -2. afx = bfx, a & b > 0, a & b ≠ 1, fx = 0 Gimana sama bentuk persamaan eksponen yang satu ini? Langsung kita lihat contoh soalnya, yuk! 2x+5 = 3x+5 Inget ya, kuncinya adalah elo harus liat syarat persamaannya dulu. Dari contoh soal di atas, 2 dan 3 udah lebih dari 0 dan bukan sama dengan 1. Jadi, jelas banget kalau soal ini memenuhi syarat bentuk persamaan eksponen dan bisa dikerjakan pakai fungsi fx = 0. Maksudnya gimana? Jadi, karena persamaan eksponennya punya pangkat yang sama, elo bisa langsung mencari nilai x-nya. x + 5 = 0 x = -5 Nah, jadi lebih gampang kan. Nilai x bisa langsung elo ketahui. Sekarang, kita lanjut ke bentuk persamaan eksponen yang berikutnya. axfx = axgx Cara menyelesaikan bentuk persamaan eksponen axfx = axgx. Arsip Zenius Buat menyelesaikan bentuk persamaan eksponen ini, elo harus melakukan beberapa cara. Nah, langsung aja kita masuk ke contoh soalnya. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut! x2-5x+52x+3 = x2-5x+53x-2 Kalau elo perhatikan, contoh soal di atas udah sama dengan bentuk axfx = axgx. Di mana, ax-nya adalah x2-5x+5, fx adalah 2x+3, dan gx yaitu 3x-2. Jadi, tahap penyelesaiannya sebagai berikut. Cara pertama, fx = gx, elo bisa menghitung berdasarkan bentuk pangkatnya. Jadi, 2x+3 = 3x -2 2x-3x = -2-3 -x = -5 x = 5 Dengan cara kedua, ax = 1, elo bisa menemukan nilai x dengan cara x2-5x+5 = 1 x2-5x+4 = 0 → faktorkan x-4x-1 = 0 x = 4 dan x =1 Lanjut ke cara yang ketiga, ax = -1, di mana fx dan gx memenuhi. Sehingga, x2-5x+5 = -1 x2-5x+6 = 0 → faktorkan x-2x-3 = 0 x = 2 dan x = 3 Kalau elo lihat, cara ini punya syarat yaitu fx dan gx harus memenuhi. Artinya, nilai x ketika dimasukkan ke fx dan gx harus sesuai. Coba kita hitung bareng-bareng. x = 2 f2 = 22+3 = 7 g2 = 32-2 = 4 x = 3 f3 = 23+3 = 9 g3 = 33-2 = 7 Sebelumnya elo udah tahu, kalau nilai x = 2 dan x = 3 bakal membuat persamaan eksponen x2-5x+5 bernilai -1. Jadi, elo bisa tulis -1fx = -1gx. Ketika x = 2, maka nilai -1fx = -1gx menjadi -17 = -14 -1 = 1 → pernyataan yang salah dan nggak bisa dijadikan solusi Ketika x = 3, maka nilai -1fx = -1gx menjadi -19 = -17 -1 = -1 → pernyataan yang benar dan bisa jadi solusi Cara keempat, ax = 0, di mana fx dan gx > 0. Di sini, elo harus memfaktorkan persamaan x2-5x+5 = 0. Tapi, di sini agak sulit kalau elo memfaktorkannya langsung, jadi harus pakai cara abc. Jadi, dari keempat cara di atas, berapa nilai x yang udah ditemukan? Iya, penyelesaiannya menjadi Wah, panjang juga ya, caranya. Coba jeda sebentar sambil pahami caranya pelan-pelan. Kalau udah selesai istirahatnya, elo bisa lanjut lagi ke bentuk persamaan eksponen berikutnya. axfx=bxfx Nah, sama juga seperti yang sebelumnya, bentuk persamaan eksponen ini punya beberapa cara penyelesaian. Cara menghitung bentuk persamaan eksponen axfx=bxfx. Arsip Zenius Biar semakin paham, gue coba jelasin lewat contoh soal di bawah. Berdasarkan cara pertama, fx = 0, artinya x2-4x+3 = 0. Terus, langkah selanjutnya apa? Betul, elo harus memfaktorkan persamaannya. Oke, elo udah tahu nilai x-nya. Tapi, masih harus dicek lagi nih, kira-kira udah sesuai belum sama syarat di mana ax dan bx ≠ 0. Makanya, elo perlu substitusi nilai x ke ax dan bx. x = 3 32-53+9 = 3 23+3 = 9 x = 1 12-51+9 = 5 21+3 = 5 Ternyata, semua nilai x memenuhi syarat tidak sama dengan 0. Berarti, dari cara pertama aja elo udah dapat nilai x = 3 dan x =1. Lanjut lagi ke cara yang kedua, ax = bx, sehingga, x2-5x+9 = 2x+3 x2-7x+6 = 0 → faktorkan x-6x-1 = 0 x = 6 dan x = 1 Cara pertama dan kedua udah elo selesaikan, apa selanjutnya? Ya… elo tinggal gabungkan aja nilai x kedua caranya. Jadi, solusi dari soal di atas adalah HP = {1,3,6}. A afx2 + B afx + C = 0 Waduh, ribet banget caranya. Ada huruf A besar dan kecil, belum lagi B dan C. Tenang-tenang, buat menemukan solusinya, elo bisa ubah afx dengan suatu variabel, misalnya m. Dari sini, elo bakal punya bentuk persamaan baru yang lebih sederhana, yaitu A m2 + Bm + C = 0 Kalau bentuknya udah berubah kayak di atas, elo bisa melakukan pemfaktoran dan substitusikan afx = m. Sekarang, coba elo perhatikan contoh soal persamaan eksponen di bawah. Biar lebih gampang, bentuk di atas bisa elo ubah jadi 2x Nah, kayak yang gue bilang sebelumnya, elo perlu sederhanakan bentuk yang sama ke suatu variabel. Di sini, gue bakal ubah 2x menjadi m. Jadi, kita punya bentuk baru m2-5m+4 = 0. m2-5m+4 = 0 → faktorkan m-4m-1 = 0 m = 4 dan m = 1 Udah ketemu nilai m, berarti waktunya elo buat subtitusi nilai m ke 2x tadi. m = 4 2x = 4 2x = 22 x = 2 m = 1 2x = 20 x = 0 Jadi, dari cara di atas, elo udah menemukan nilai x, yaitu x = 2 dan x = 0. Nah, kalau udah tahu bentuk dan cara mengerjakannya, ternyata persamaan eksponen bisa elo selesaikan dengan mudah, kan? Gimana menurut elo? Oke, elo simpan baik-baik pemahaman tentang persamaan eksponen di atas. Sekarang, lanjut ke pembahasan berikutnya yaitu pertidaksamaan eksponen. Baca Juga Grafik Fungsi Eksponen dan Cara Menggambarnya Pertidaksamaan Eksponen Kalau ada persamaan eksponen, ada juga pertidaksamaan eksponen. Namanya aja pertidaksamaan, berarti bentuknya bakal ada tanda pertidaksamaan. Apa aja nih, tanda pertidaksamaan? Empat tanda pertidaksamaan. Arsip Zenius Oh iya, elo masih sering tertukar antara tanda kurang dari atau lebih dari, nggak? Kalo gue bakal pakai bantuan tangan buat mengingatnya. Karena tangan kanan yang dibengkokkan terlihat mirip sama tanda lebih dari, gue bakal selalu ingat kalau tanda lebih dari punya sisi lancip yang mengarah ke kanan. Begitu juga sama tangan kiri yang dibengkokkan bakal terlihat seperti tanda kurang dari. Jadi, gue bakal ingat kalau sisi lancip dari tanda kurang dari itu mengarah ke kiri. Elo coba sendiri, deh! Kalau pakai bantuan tangan gini, gue yakin elo nggak bakal tertukar lagi. Sekarang, kita lanjut ke contoh pertidaksamaan eksponen. Dari penjelasan sebelumnya, elo udah bisa nebak, gimana bentuknya? Oke, contohnya, persamaan eksponen dari fx = 2x adalah 2x = 128. Terus, gimana kalau pertanyaannya jadi pertidaksamaan? Pada saat x sama dengan berapa nilai fungsinya lebih dari sama dengan 128? Di sini, elo bisa tuliskan bentuk pertidaksamaannya menjadi 2x ≥ 128 Nah, kira-kira elo tahu, nggak? Kalau di persamaan eksponen nilai x-nya berupa sebuah titik, gimana dengan pertidaksamaan eksponen? Iya, betul banget. Kalau di pertidaksamaan eksponen, nilai x akan berbentuk interval. Contohnya, x > 7, artinya nilai x yang memenuhi adalah lebih besar dari 7 dan ada di daerah kanan atas grafik. Hm, kalau bentuknya kayak gitu, cara menghitungnya gimana, ya? Yuk, kita lihat bentuk pertidaksamaan eksponen di bawah ini. Baca Juga Rumus Pangkat dan Bilangan Kuadrat Bentuk Pertidaksamaan Eksponen Bentuk pertidaksamaan eksponen bisa diselesaikan bergantung sama nilai a atau basisnya. Itulah kenapa basis tidak dapat minus dalam pertidaksamaan eksponen. Kalau nilai basis minus atau negatif, artinya elo harus mengalikannya dengan bilangan yang juga negatif, terus membalik tanda pertidaksamaannya. Berbeda dengan persamaan, pertidaksamaan eksponen cuma punya 2 bentuk umum. Bentuknya sendiri dikelompokkan berdasarkan tanda pertidaksamaannya, yaitu kurang dari . 1. a > 1 → axfx axgx, fx > gx Di pertidaksamaan, ketika elo punya nilai a > 1, rumus pertidaksamaan eksponen yang perlu elo ingat adalah tanda dari solusi bakal sama dengan soalnya. Maksudnya gimana? Jadi, dari pertidaksamaan eksponen axfx axgx, tanda pertidaksamaannya akan tetap lebih dari. Sehingga solusi yang digunakan adalah fx > gx. Coba perhatikan contoh soal pertidaksamaan eksponen di bawah. Menurut elo, gimana cara menghitungnya? 5x gx → axfx > axgx, fx gx. Sementara, ketika soal mempunya bentuk axfx > axgx, maka penyelesaiannya akan punya tanda yang berkebalikan menjadi fx 0 dan 2 ≠ 1. Terus, nilai a kedua yaitu 99 > 0 dan 99 ≠ 1. Karena itu, elo bisa langsung mencari nilai x berdasarkan pangkatnya. x-1x-2 = 0 x = 1 x = 2 Karena soal hanya meminta salah satu nilai x, maka jawaban yang tepat adalah c. 2. Contoh Soal 2 Solusi dari pertidaksamaan 3x-2 > 9 adalah …. a. x > 4 b. x > 3 c. x > 2 d. x > 1 e. x 9 → 3x-2 > 32 Karena nilai a yaitu 3 lebih dari 1, maka, x – 2 > 2 x > 4 Jadi, solusi dari pertidaksamaan 3x-2 > 9 adalah a. x > 4. Contoh Soal 3 Bakteri membelah diri menjadi 2 setiap menit. Pada pukul terdapat 10 bakteri. Pada pukul berapa bakteri berjumlah a. b. c. d. e. Pembahasan Nah, contoh soal ini merupakan salah satu penerapan persamaan eksponen dalam kehidupan sehari-hari. Nggak cuma pertumbuhan populasi aja, persamaan eksponen juga digunakan buat menghitung pertumbuhan bakteri. Iya, jadinya populasi bakteri. Hehehe. Oke, karena setiap menit bakteri membelah diri menjadi 2, elo harus menuliskannya menjadi 2t. t di sini berarti waktu yang dibutuhkan oleh bakteri untuk membelah diri dalam satuan menit. Terus, 2t perlu elo kalikan dengan jumlah bakteri awal, yaitu 10. Sekarang, elo punya bentuk Namanya aja persamaan eksponen, berarti elo butuh satu nilai lagi yang nantinya akan dihubungkan dengan tanda sama dengan. Menurut elo, apa yang harus ditulis? Yup, betul. Karena soal menanyakan pada pukul berapa bakteri berjumlah elo bisa masukkan nilai ini ke dalam persamaan. = → setiap ruas dibagi 10 2t = 2t = 210 t = 10 Jadi, bakteri akan berjumlah pada pukul ditambah 10 menit menjadi pukul So, jawabannya adalah c. ***** Oke, sampai di sini dulu pembahasan kita tentang persamaan eksponen dan pertidaksamaan eksponen. Semoga elo bisa lebih memahami apa itu persamaan dan pertidaksamaan eksponen, sifat, bentuk, dan cara menghitungnya. Mau belajar tentang persamaan dan pertidaksamaan eksponen lebih dalam lagi? Langsung aja tonton video materi dan kerjakan latihan soalnya di Zenius. Caranya, klik banner yang ada di bawah ini! Selamat belajar, guys! Biar makin mantap, Zenius punya beberapa paket belajar yang bisa lo pilih sesuai kebutuhan lo. Di sini lo nggak cuman mereview materi aja, tetapi juga ada latihan soal untuk mengukur pemahaman lo. Yuk langsung aja klik banner di bawah ini! Referensi Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen – Materi Zenius Kelas 10 Perpangkatan dan Bentuk Akar – Eva Risdaniati, dkk 2021 Matematika SMA dan MA – Sri Kurnianingsih, dkk 2007 Napier’s e – Napier – Mathematical Association of America Persamaan bentuk eksponen sederhana dijumpai dalam tiga bentuk berikut. Untuk $a \in$ himpunan bilangan real tak nol, selalu berlaku Jika $a^{fx} = a^p$, maka $fx = p$. Jika $a^{fx} = a^{gx}$, maka $fx = gx$. Jika $fx^{a} = gx^{a}$, maka ada sejumlah kemungkinan yang menjadi penyelesaian persamaan, yakni $$\begin{cases} fx = gx & 1 \\ fx = -gx~\text{dengan syarat}~a~\text{genap} & 2 \end{cases}$$ Today Quote Your cell phone has already replaced your watch, camera, calendar and alarm clock. Don’t let it replace your lovely family. Contoh 1 Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan a. $7^x = 49$ b. $3^{-x} = 81$ c. $8^x = \sqrt2$ d. $3^{2x-1} = \dfrac{1}{27}$ Pembahasan Semua persamaan tersebut berbentuk $a^{fx} = a^p$ yang memiliki penyelesaian dari persamaan $fx = p$. Jawaban a $7^x = 49 \Leftrightarrow 7^x = 7^2 \Rightarrow \therefore x = 2$ Jawaban b $\begin{aligned} 3^{-x} & = 81 \\ 3^{-x} & = 3^4 \\ -x & = 4 \\ \therefore x & = -4 \end{aligned}$ Jawaban c $\begin{aligned} 8^x & = \sqrt2 \\ 2^3^x & = 2^{\frac12} \\ 2^{3x} & = 2^{\frac12} \\ 3x & = \dfrac12 \\ \therefore x & = \dfrac16 \end{aligned}$ Jawaban d $\begin{aligned} 3^{2x-1} & = \dfrac{1}{27} \\ 3^{2x-1} & = 3^{-3} \\ 2x-1 & = -3 \\ 2x & = -2 \\ \therefore x & = -1 \end{aligned}$ Contoh 2 Tentukan penyelesaian dari setiap persamaan berikut. a. $9^{3x-4} = \dfrac{1}{81^{2x-5}}$ b. $4^{1+2x} \cdot 3^{4x+1} = 432$ Pembahasan Semua persamaan tersebut berbentuk $a^{fx} = a^{gx}$ yang memiliki penyelesaian dari persamaan $fx = gx$. Jawaban a $\begin{aligned} 9^{3x-4} & = \dfrac{1}{81^{2x-5}} \\ 9^{3x-4} & = 81^{5-2x} \\ 9^{3x-4} & = 9^2^{5-2x} \\ 9^{3x-4} & = 9^{10-4x} \\ \Rightarrow 3x-4 & = 10-4x \\ 3x+4x & = 10+4 \\ 7x & = 14 \\ x & = 2 \end{aligned}$ Jadi, penyelesaian persamaan ini adalah $\boxed{x=2}$ Jawaban b $\begin{aligned} 4^{1+2x} \cdot 3^{4x+1} & = 432 \\ 4^1 \cdot 4^{2x} \cdot 3^{4x} \cdot 3^1 & = 432 \\ 4^{2x} \cdot 3^2^{2x} & = \dfrac{432}{4 \cdot 3} \\ 4^{2x} \cdot 9^{2x} & = 36 \\ 36^{2x} & = 36 \\ \Rightarrow 2x & = 1 \\ x & = \dfrac12 \end{aligned}$ Jadi, penyelesaian persamaan ini adalah $\boxed{x=\dfrac12}$ Agar lebih memahami submateri ini, berikut disajikan soal-soal beserta pembahasannya yang super lengkap. Semoga bermanfaat, ya! Baca Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma Soal Nomor 1 Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $2^{x+1} = 8$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2$ C. $0$ E. $-2$ B. $1$ D. $-1$ Pembahasan Persamaan di atas berbentuk $a^{fx} = a^p$ yang berarti $fx = p$. $\begin{aligned} 2^{x+1} & = 8 \\ 2^{x+1} & = 2^3 \\ \Rightarrow x+1 & = 3 \\ x & = 2 \end{aligned}$ Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=2}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 2 Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $3^{2-x} = 27$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2$ C. $0$ E. $-2$ B. $1$ D. $-1$ Pembahasan Persamaan di atas berbentuk $a^{fx} = a^p$ yang berarti $fx = p$. $\begin{aligned} 3^{2-x} & = 27 \\ 3^{2-x} & = 3^3 \\ \Rightarrow 2-x & = 3 \\ x & = -1 \end{aligned}$ Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=-1}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 3 Himpunan penyelesaian dari persamaan $2^x = \dfrac{1}{32}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\{-5\}$ C. $\{0\}$ E. $\{5\}$ B. $\{-3\}$ D. $\{3\}$ Pembahasan Persamaan di atas berbentuk $a^{fx} = a^p$ yang berarti $fx = p$. $\begin{aligned} 2^{x} & = \dfrac{1}{32} \\ 2^{x} & = 2^{-5} \\ \Rightarrow x & = -5 \end{aligned}$ Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah $\boxed{\{-5\}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 4 Penyelesaian dari persamaan $4^{x+1} = 128$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x=1,5$ D. $x=3,0$ B. $x=2,0$ E. $x=3,5$ C. $x=2,5$ Pembahasan Persamaan di atas berbentuk $a^{fx} = a^p$ yang berarti $fx = p$. $\begin{aligned} 4^{x+1} & = 128 \\ 2^2^{x+1} & = 2^7 \\ 2^{2x+2} & = 2^7 \\ \Rightarrow 2x+2 & = 7 \\ 2x & = 5 \\ x & = \dfrac52 = 2,5 \end{aligned}$ Jadi, penyelesaian persamaan tersebut adalah $\boxed{x=2,5}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 5 Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $5^{4+x} = 0,2^x$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-5$ C. $-3$ E. $2$ B. $-4$ D. $-2$ Pembahasan Persamaan di atas berbentuk $a^{fx} = a^p$ yang berarti $fx = p$. $\begin{aligned} 5^{4+x} & = 0,2^x \\ 5^{4+x} & = \left\dfrac15\right^x \\ 5^{4+x} & = 5^{-x} \\ \Rightarrow 4+x & = -x \\ 2x & = -4 \\ x & = -2 \end{aligned}$ Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=-2}$ Jawaban D [collapse] Baca Soal dan Pembahasan – Fungsi Eksponen Pangkat Soal Nomor 6 Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\left\dfrac25\right^{\frac12} = \left\dfrac52\right^{x+1}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac32$ C. $0$ E. $-\dfrac32$ B. $\dfrac12$ D. $-\dfrac12$ Pembahasan Persamaan di atas berbentuk $a^{fx} = a^p$ yang berarti $fx = p$. $\begin{aligned} \left\dfrac25\right^{\frac12} & = \left\dfrac52\right^{x+1} \\ \left\dfrac25\right^{\frac12} & = \left\dfrac25\right^{-x-1} \\ \Rightarrow \dfrac12 & = -x-1 \\ \dfrac32 & = -x \\ x & = -\dfrac32 \end{aligned}$ Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=-\dfrac32}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 7 Persamaan yang ekuivalen dengan persamaan $8^x = 2^{y+1}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x-y-1=0$ B. $3x-y+1=0$ C. $3x+y-1=0$ D. $x-3y-1=0$ E. $x+3y-1=0$ Pembahasan Persamaan di atas berbentuk $a^{fx} = a^{gx}$ yang berarti $fx = gx.$ $\begin{aligned} 8^x & = 2^{y+1} \\ 2^{3x} & = 2^{y+1} \\ \Rightarrow 3x & = y+1 \\ 3x-y-1 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, persamaan yang ekuivalen dengan persamaan tersebut adalah $\boxed{3x-y-1=0}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 8 Persamaan kuadrat yang ekuivalen dengan persamaan $3^{x^2-5x-3} = 27$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x^2-5x-3=0$ B. $x^2-5x-6=0$ C. $x^2-5x=0$ D. $x^2+5x-6=0$ E. $x^2+5x-3=0$ Pembahasan Persamaan di atas berbentuk $a^{fx} = a^p$ yang berarti $fx = p$. $\begin{aligned} 3^{x^2-5x-3} & = 27 \\ 3^{x^2-5x-3} & = 3^3 \\ \Rightarrow x^2-5x-3 & = 3 \\ x^2-5x-6 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, persamaan yang ekuivalen dengan persamaan tersebut adalah $\boxed{x^2-5x-6=0}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 9 Penyelesaian dari persamaan $2^{3x-2} = \left\dfrac14\right^{x-9}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x=-4$ D. $x=2$ B. $x=-2$ E. $x=4$ C. $x=0$ Pembahasan Persamaan di atas berbentuk $a^{fx} = a^{gx}$ yang berarti $fx = gx.$ $\begin{aligned} 2^{3x-2} & =\left\dfrac14\right^{x-9} \\ 2^{3x-2} & = 2^{-2}^{x-9} \\ 2^{3x-2} & = 2^{-2x+18} \\ \Rightarrow 3x-2 & = -2x+18 \\ 3x+2x & = 18+2 \\ 5x & = 20 \\ x & = 4 \end{aligned}$ Jadi, penyelesaian dari persamaan tersebut adalah $\boxed{x=4}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 10 Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $4^{2x-3} + 16^{x-1} = \dfrac{5}{64}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-4$ C. $0$ E. $4$ B. $-2$ D. $2$ Pembahasan Persamaan di atas dapat disederhanakan sehingga memunculkan bentuk $a^{fx} = a^p$. $\begin{aligned} 4^{2x-3} + 16^{x-1} & = \dfrac{5}{64} \\ 4^{2x-3} + 4^2^{x-1} & = \dfrac{5}{4^3} \\ 4^{2x-3} + 4^{2x-2} & = 5 \cdot 4^{-3} \\ 4^{2x} \cdot 4^{-3} + 4^{2x} \cdot 4^{-2} & = 5 \cdot 4^{-3} \\ \text{Kali}~4^{3}~\text{pada kedua}~&\text{ruas} \\ 4^{2x} + 4^{2x} \cdot 4 & = 5 \\ 1+4 \cdot 4^{2x} & = 5 \\ 5 \cdot 4^{2x} & = 5 \\ 4^{2x} & = 1 \\ 4^{2x} & = 4^0 \\ \Rightarrow 2x & = 0 \\ x & = 0 \end{aligned}$ Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=0}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 11 Nilai $n$ yang memenuhi persamaan $\left\{\left\dfrac{1}{25}\right^{2n+6}\right\}^{\frac16} = 5^{-4}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $1$ C. $5$ E. $9$ B. $3$ D. $7$ Pembahasan Persamaan di atas berbentuk $a^{fn} = a^p$ yang berarti $fn = p.$ $\begin{aligned} \left\{\left\dfrac{1}{25}\right^{2n+6}\right\}^{\frac16} & = 5^{-4} \\ \left\{5^{-2}^{2n+6}\right\}^{\frac16} & = 5^{-4} \\ 5^{-22n+6\left\frac{1}{6}\right} & = 5^{-4} \\ 5^{-\frac{2n+6}{3}} & = 5^{-4} \\ \Rightarrow -\dfrac{2n+6}{3} & = -4 \\ -2n+6 & = -12 \\ 2n+6 & = 12 \\ 2n & = 6 \\ n & = 3 \end{aligned}$ Jadi, nilai $n$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{n=3}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 12 Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $25^{x^2-5x+7} = \left\dfrac{1}{25}\right^{x-x^2-15}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-6$ C. $-2$ E. $6$ B. $-4$ D. $4$ Pembahasan Persamaan di atas berbentuk $a^{fx} = a^{gx}$ yang berarti $fx = gx.$ $\begin{aligned} 25^{x^2-5x+7} & = \left\dfrac{1}{25}\right^{x-x^2-15} \\ 25^{x^2-5x+7} & = 25^{-1}^{x-x^2-15} \\ 25^{x^2-5x+7} & = {25}^{x^2-x+15} \\ \Rightarrow \cancel{x^2}-5x+7 & = \cancel{x^2}-x+15\\ -5x+x & = 15-7 \\ -4x & = 8 \\ x & = -2 \end{aligned}$ Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=-2}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 13 Himpunan penyelesaian dari persamaan $10^{2-3x} = 10^{5x-6}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\{~\}$ C. $\{1\}$ E. $\{1, 2\}$ B. $\{0\}$ D. $\{2\}$ Pembahasan Persamaan di atas berbentuk $a^{fx} = a^{gx}$ yang berarti $fx = gx.$ $\begin{aligned} 10^{2-3x} & = 10^{5x-6} \\ \Rightarrow 2-3x & = 5x-6 \\ -3x-5x & = -6-2 \\ -8x & = -8 \\ x & = 1 \end{aligned}$ Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah $\boxed{\{1\}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 14 Penyelesaian persamaan $3^{2x+1}=81^{x-2}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $0$ C. $4\dfrac12$ E. $16$ B. $4$ D. $6\dfrac12$ Pembahasan Persamaan tersebut berbentuk $a^{fx} = a^p$ yang memiliki penyelesaian dari persamaan $fx = p$. $\begin{aligned} 3^{2x+1} & =81^{x-2} \\ 3^{2x+1} & = 3^4^{x-2} \\ 3^{2x+1} & = 3^{4x-8} \\ \Rightarrow 2x+1 & = 4x-8 \\ 2x-4x & = -8-1 \\ -2x & = -9 \\ x & = \dfrac92 = 4\dfrac12 \end{aligned}$ Jadi, penyelesaian persamaan itu adalah $\boxed{4\dfrac12}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 15 Jika $x$ memenuhi persamaan $\left\dfrac{1}{9^{2x}}\right^{\frac13} = \dfrac{27^x^2}{81^{x-2}}$, maka nilai $-5x$ sama dengan $\cdots \cdot$ A. $-12$ C. $0$ E. $12$ B. $-8$ D. $8$ Pembahasan Persamaan tersebut berbentuk $a^{fx} = a^p$ yang memiliki penyelesaian dari persamaan $fx = p$. $\begin{aligned} \left\dfrac{1}{9^{2x}}\right^{\frac13} & = \dfrac{27^x^2}{81^{x-2}} \\ 3^{-2}^{2x}^{\frac13} & = \dfrac{3^{6x}}{3^{4x-2}} \\ 3^{-\frac43x} & = 3^{6x-4x+8} \\ 3^{-\frac43x} & = 3^{2x+8} \\ \Rightarrow -\dfrac43x & = 2x + 8 \\ \text{Kali}~3&~\text{pada kedua ruas} \\ -4x & = 6x+24 \\ -10x & = 24 \\ -5x & = 12 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{-5x = 12}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 16 Nilai $x$ yang $\dfrac{\sqrt[3]{4^{5-x}}}{8} = \dfrac{1}{2^{2x+1}}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-4$ C. $-\dfrac12$ E. $2$ B. $-1$ D. $\dfrac14$ Pembahasan Persamaan tersebut berbentuk $a^{fx} = a^p$ yang memiliki penyelesaian dari persamaan $fx = p$. $\begin{aligned} \dfrac{\sqrt[3]{4^{5-x}}}{8} & = \dfrac{1}{2^{2x+1}} \\ \dfrac{\left2^2^{5-x}\right^{\frac13}}{2^3} & = 2^{-1}^{2x+1} \\ 2^{\frac235-x-3} & = 2^{-2x-1} \\ \Rightarrow \dfrac235-x-3 & = -2x-1 \\ \dfrac235-x & = -2x+2 \\ 25-x & = 3-2x+2 \\ 10-2x & = -6x+6 \\ -2x+6x & = 6-10 \\ 4x & = -4 \\ x & = -1 \end{aligned}$ Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=-1}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 17 Jumlah semua akar real dari persamaan $3^{2x^2-7x-7} = 9$ adalah $\cdots \cdot$ A. $1,5$ C. $3,5$ E. $5,5$ B. $2,5$ D. $4,5$ Pembahasan Persamaan di atas dapat diubah sehingga berbentuk $a^{fx} = a^p$ yang ekuivalen dengan $fx = p$. $\begin{aligned} 3^{2x^2-7x-7} & = 9 \\ 3^{2x^2-7x-7} & = 3^2 \\ \Rightarrow 2x^2-7x-7 & = 2 \\ \color{blue}{2}x^2\color{red}{-7}x\color{green}{-9} & = 0 \end{aligned}$ Kita peroleh sebuah persamaan kuadrat. Diskriminan persamaan kuadrat ini dapat dicari menggunakan rumus $D = \color{red}{b}^2-4\color{blue}{a}\color{green}{c}$. Kita dapatkan $\begin{aligned} D & = -7^2-42-9 \\ & = 49+72 \\ & = 121 > 0 \end{aligned}$ Karena diskriminannya bernilai lebih dari $0$, maka akar persamaan kuadratnya adalah dua bilangan real nyata berbeda. Tanpa pemfaktoran, kita dapat menentukan jumlah akar real dengan menggunakan rumus $\begin{aligned} x_1 + x_2 & = -\dfrac{\color{red}{b}}{\color{blue}{a}} \\ \Rightarrow x_1+x_2 & = -\dfrac{-7}{2} = 3,5 \end{aligned}$ Jadi, jumlah semua akar real dari persamaan eksponen di atas adalah $\boxed{3,5}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 18 Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $3^{2x+3}= \sqrt[3]{27^{x-5}}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-8$ C. $-4$ E. $8$ B. $-6$ D. $0$ Penyelesaian Dengan menggunakan sifat pangkat, diperoleh $\begin{aligned} 3^{2x+3} & = \sqrt[3]{3^3^{x-5}} \\ 3^{2x+3} & = 3^{3 \times x-5 \times \frac{1}{3}} \\ \cancel{3}^{2x+3} & = \cancel{3}^{x-5} \\ 2x + 3 & = x -5 \\ 2x – x & = -5 -3 \\ x & = -8 \end{aligned}$ Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x=-8}$ Jawaban A [collapse] Baca Soal dan Pembahasan – Persamaan Eksponen Lanjut Soal Nomor 19 Jika diketahui $3^{x+2} = 6^{x-1}$, maka nilai dari $2^x + 3^{\frac{6}{x-1}} = \cdots \cdot$ A. $58$ C. $54$ E. $50$ B. $56$ D. $52$ Penyelesaian Ubah bentuk pada masing-masing ruas sehingga mengandung $3^x.$ $\begin{aligned} 3^{x+2} & = 6^{x-1} \\ 9 \cdot 3^x & = \dfrac{1}{6} \cdot 2 \cdot 3^x \\ 54 \cdot \cancel{3^x} & = 2^x \cdot \cancel{3^x} \\ 2^x & = 54 && \bigstar \\ 2^x & = 2 \cdot 3^3 \\ 2^{x-1} & = 3^3 \\ 2^{2x-1} & = 3^6 \\ 2^2 & = 3^{\frac{6}{x-1}} && \bigstar \end{aligned}$ Dengan demikian, kita peroleh $\boxed{2^x + 3^{\frac{6}{x-1}} = 54 + 2^2 = 58}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 20 Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah penyelesaian persamaan $\left\dfrac49\right^{x^2-3}\left\dfrac{8}{27}\right^{1-x} = \dfrac32$, maka $x_1-x_2^2 = \cdots \cdot$ A. $\dfrac94$ C. $\dfrac{41}{4}$ E. $25$ B. $\dfrac{25}{4}$ D. $\dfrac{25}{2}$ Pembahasan Persamaan di atas dapat diubah sehingga berbentuk $a^{fx} = a^p$ yang ekuivalen dengan $fx = p$. $\begin{aligned} \left\dfrac49\right^{x^2-3}\left\dfrac{8}{27}\right^{1-x} & = \dfrac32 \\ \left\dfrac23\right^{2x^2-3}\left\dfrac{2}{3}\right^{31-x} & = \left\dfrac23\right^{-1} \\ \left\dfrac23\right^{2x^2-6}\left\dfrac{2}{3}\right^{3-3x} & = \left\dfrac23\right^{-1} \\ \left\dfrac23\right^{2x^2-6 + 3-3x} & = \left\dfrac23\right^{-1} \\ \left\dfrac23\right^{2x^2-3x-3} & = \left\dfrac23\right^{-1} \\ \Rightarrow 2x^2-3x-3 & = -1 \\ 2x^2-3x-2 & = 0 \\ 2x+1x-2 & = 0\end{aligned}$ Diperoleh dua akar, yaitu $2x+1 = 0 \Rightarrow x_1 = -\dfrac12$ $x-2=0 \Rightarrow x_2 =2$ Dengan demikian, $\begin{aligned} x_1-x_2^2 & = \left-\dfrac12-2\right^2 \\ & = \left\dfrac52\right^2 = \dfrac{25}{4} \end{aligned}$ Catatan Perhatikan bahwa $x_1-x_2^2 = x_2-x_1^2$, artinya hasilnya selalu sama meskipun nilai $x_1$ dan $x_2$ ditukar. Jawaban B [collapse] Baca Soal dan Pembahasan – Persamaan Logaritma Soal Nomor 21 Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $5^3=x+2^3$ adalah $\cdots \cdot$ A. $5$ C. $1$ E. $-5$ B. $3$ D. $-3$ Pembahasan Persamaan di atas berbentuk $p^{a} = fx^a$ yang berarti $fx = p$ pangkatnya sama, basisnya berbeda. $\begin{aligned} 5^3 & = x+2^3 \\ \Rightarrow 5 & = x+2 \\ x & = 3 \end{aligned}$ Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=3}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 22 Jika $1-x^5 = 2x-1^5$, maka nilai $x$ sama dengan $\cdots \cdot$ A. $\dfrac23$ C. $\dfrac43$ E. $2$ B. $1$ D. $\dfrac53$ Pembahasan Persamaan di atas berbentuk $fx^{p} = gx^{p}$ yang berarti hanya memungkinkan bila $fx = gx$ karena $p = 5$ ganjil. $\begin{aligned} 1-x^5 & = 2x-1^5 \\ \Rightarrow 1-x & = 2x-1 \\ -x-2x & =-1-1 \\ -3x & = -2 \\ x & = \dfrac23 \end{aligned}$ Jadi, nilai $x$ adalah $\boxed{\dfrac23}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 23 Penyelesaian persamaan $2x-1^8 = -2+x^8$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x = -1$ saja B. $x = 0$ saja C. $x = 1$ saja D. $x = -1$ atau $x = 1$ E. $\text{tidak ada penyelesaian}$ Pembahasan Persamaan di atas berbentuk $fx^{p} = gx^{p}$ dengan $p$ genap sehingga ada dua kemungkinan penyelesaian, yaitu $fx = gx$ atau $fx = -gx$ Kondisi pertama $\begin{aligned} fx & = gx \\ 2x-1 & = -2+x \\ 2x-x &= -2+1 \\ x & = -1 \end{aligned}$ Kondisi kedua $\begin{aligned} fx & = -gx \\ 2x-1 & = -2+x \\ 2x-1 & = 2-x \\ 2x+x & = 2+1 \\ 3x & = 3 \\ x & = 1 \end{aligned}$ Jadi, penyelesaian persamaan tersebut adalah $\boxed{x=-1~\text{atau}~x=1}$ Jawaban D [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan – Pertumbuhan dan Peluruhan Soal Nomor 24 Diberikan bilangan bulat $a$ dan $b$ yang memenuhi $\begin{cases} 3^a & = 81^{b+2} \\ 125^b & = 5^{a-3} \end{cases}$ Nilai dari $ab$ adalah $\cdots \cdot$ A. $10$ C. $60$ E. $2018$ B. $29$ D. $64$ Pembahasan Sederhanakan masing-masing persamaan sehingga nantinya terbentuk sistem persamaan linear dua variabel SPLDV. $\begin{aligned} 3^a & = 81^{b+2} \\ 3^a & = 3^4^{b+2} \\ 3^a & = 3^{4b+8} \\ a & = 4b + 8 \\ a-4b & = 8 && \cdots 1 \end{aligned}$ $\begin{aligned} 125^b & = 5^{a-3} \\ 5^3^b & = 5^{a-3} \\ 5^{3b} & = 5^{a-3} \\ 3b & = a-3 \\ -a+3b & = -3 && \cdots 2 \end{aligned}$ Eliminasi $a$ dari persamaan $1$ dan $2$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} a-4b & =8 \\ -a+3b & = -3 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} -b & = 5 \\ b & = -5 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $b = -5$ pada persamaan $1$. $\begin{aligned} a-4\color{red}{b} & = 8 \\ \implies a-4-5 & = 8 \\ a+20 & = 8 \\ a & = -12 \end{aligned}$ Dengan demikian, nilai dari $\boxed{ab = -12-5 = 60}$ Jawaban C [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Fungsi Logaritma Soal Nomor 25 Diketahui persamaan $$25^x + 25^x + 25^x + 25^x + 25^x = 5^{ Nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $ D. $ B. $ E. $ C. $ Pembahasan Gunakan sifat-sifat pangkat. $$\begin{aligned} \underbrace{25^x + 25^x + 25^x + 25^x + 25^x}_{\text{ada}~5} & = 5^{ \\ 5 \cdot 25^x & = 5^{ \\ 5^1 \cdot 5^2^x & = 5^{ \\ 5^{1+2x} & = 5^{ \\ \Rightarrow 1+2x & = \\ 2x & = \\ x & = \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 26 Jika $x$ adalah bilangan real positif yang memenuhi $\dfrac{\sqrt[3]{a^2} \sqrt{x}}{\sqrt{a\sqrt[3]{ab}}} = \sqrt{a\sqrt[3]{b^2}}$, maka $ax = \cdots \cdot$ A. $a^2$ C. $a^2b$ E. $a^2b^2$ B. $ab$ D. $ab^2$ Pembahasan Semua ekspresi pada persamaan tersebut berbentuk akar pangkatnya pecahan dan dapat dihilangkan dengan memangkatkan kedua ruas dengan $6$. Sebelumnya, kita dapat ubah bentuk akar menjadi pangkat dengan mengingat bahwa $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$. Untuk itu, diperoleh $\begin{aligned} \left\dfrac{\sqrt[3]{a^2} \sqrt{x}}{\sqrt{a\sqrt[3]{ab}}}\right^6 & = \left\sqrt{a\sqrt[3]{b^2}}\right^6 \\ \dfrac{a^{\frac23 \cdot 6} x^{\frac12 \cdot 6}}{a^{\frac12 \cdot 6} ab^{\frac13 \cdot \frac12 \cdot 6}} & = a^{\frac12 \cdot 6} b^{\frac23 \cdot \frac12 \cdot 6} \\ \dfrac{\cancel{a^4}x^3}{\cancel{a^3}\cancel{a}b} & = a^3b^2 \\ \dfrac{x^3}{b} & = a^3b^2 \\ x^3 & = a^3b^3 \\ x & = ab \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{ax = aab = a^2b}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 27 Persamaan $64^x + 2^{x+6} = 2^{x+7}$ berlaku untuk $x = \cdots \cdot$ A. $\dfrac76$ C. $\dfrac54$ E. $\dfrac23$ B. $\dfrac65$ D. $\dfrac43$ Pembahasan Dengan menggunakan sifat dasar perpangkatan, kita peroleh $$\begin{aligned} 64^x + 2^{x+6} & = 2^{x+7} \\ 2^6^x & = 2^{x+7}-2^{x+6} \\ 2^{6x} & = 2^{x+6}2-1 \\ 2^{6x} & = 2^{x+6} \\ \Rightarrow 6x & = x+6 \\ 5x & = 6 \\ x & = \dfrac65 \end{aligned}$$Jadi, persamaan tersebut berlaku untuk $\boxed{x=\dfrac65}$ Jawaban B [collapse] Baca Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma Versi HOTS dan Olimpiade Soal Nomor 28 Jika $a$ dan $b$ bilangan bulat positif yang memenuhi $a^b = 2^{20}-2^{19}$, maka nilai $a+b = \cdots \cdot$ A. $3$ C. $19$ E. $23$ B. $7$ D. $21$ Pembahasan Dengan menggunakan sifat pangkat dan sifat distributif, kita peroleh $$\begin{aligned} a^b & = 2^{19} \cdot 2-2^{19} \\ & = 2^{19}2-1 \\ & = 2^{19} \end{aligned}$$Dari sini, kita peroleh $a = 2$ dan $b = 19$ sehingga $\boxed{a+b=2+19=21}$ Jawaban D [collapse] 5 tahun lalu Real Time6menit Hallo Gengs Apa kabar? Semoga kita selalu dalam lindunganNya. Pada kesempatan kali ini, akan diberikan contoh-contoh soal plus pembahasannya tentang persamaan eksponensial. Namun sebelumnya akan saya berikan sifat-sifat yang ada pada persamaan eksponen. Misalkan a > 0 dan a ≠ 1. Jika afx = agx maka fx = gx Misalkan a, b > 0 dan a, b ≠ 1. Jika afx = bfx maka fx = 0 Misalkan a, b > 0 dan a, b ≠ 1. Jika afx = bgx maka log afx = log bgx Jika fxgx = 1 maka 1 fx = 1 2 fx = -1, dengan syarat gx genap 3 gx = 0, dengan syarat fx ≠ 0 Jika fxhx = gxhx maka 1 fx = gx 2 fx = -gx, dengan syarat hx genap 3 hx = 0, dengan syarat fx ≠ 0 dan gx ≠ 0 Jika fxgx = fxhx maka 1 gx = hx 2 fx = 1 3 fx = -1, gx dan hx keduanya genap/ganjil 4 fx = 0, gx dan hx keduanya positif Tanpa basa basi lagi, kita langsung saja masuk ke contoh-contohnya. Contoh 1 Soal Tentukan penyelesaian dari persamaan ekponensial berikut ini 22x-7 = 81-x Jawab Pertama-tama yang perlu Gengs lakukan yaitu menyamakan basis pada kedua ruas [ruas kanan dan ruas kiri] seperti berikut 22x-7 = 81-x 22x-7 = 231-x 22x-7 = 23-3x Nahhhh karena basismya telah sama, maka dengan mudah kita dapat menentukan nilai x-nya seperti berikut ini. 2x – 7 = 3 – 3x 5x = 10 x = 2 Sehingga kita peroleh x = 2 Contoh 2 Soal Carilah bentuk sederhana dari $frac{a^{frac{1}{2}} b^{-3}}{a^{-1} b^{frac{-3}{2}}}^{frac{2}{3}}$ adalah … Jawab Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen, maka Contoh 3 Soal Tentukan nilai dari $frac{2^{5}-2^{7}}{2^{2}}$ Jawab $frac{2^{5}-2^{7}}{2^{2}}=frac{2^{2}2^{3}-2^{5}}{2^{2}}$ =$2^{3}-2^{5}$ = 8 – 32 = -24 Contoh 4 Soal Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan eksponensial berikut3ˣ⁺²+3ˣ=10 Jawab3ˣ⁺²+3ˣ=103ˣ3²+1=10 3ˣ10=103ˣ = 13ˣ=3⁰x=0 Contoh 5 Soal Hasil dari $sqrt[3]{0,125}+ frac{1}{sqrt[5]{32}}+ 0,5^2$ adalah… Jawab Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen dan bentuk akar, maka Contoh 6 Soal Tentukan nilai x dari persamaan 3⁵ˣ⁻¹ – 27ˣ⁺³ = 0 Jawab3⁵ˣ⁻¹ – 27ˣ⁺³ = 03⁵ˣ⁻¹ = 3³ˣ⁺³3⁵ˣ⁻¹ = 3³ˣ⁺⁹ 5x-1 = 3x + 9 2x = 10 x = 5 Contoh 7 Soal Tentukan penyelesaian dari 32x-2 = 5x-1 Jawab Kedua basis pada persamaan diatas berbeda dan tidak ada sifat-sifat perpangkatan yang dapat kita gunakan untuk menyamakan kedua basis tersebut. Namun, kedua pangkatnya bisa kita samakan menjadi sebagai berikut 32x-2 = 5x-1 32x-1 = 5x-1 9x-1 = 5x-1 Sehingga berdasarkan sifat 2, maka akan diperoleh sebagai berikut x – 1 = 0 x = 1 Dengan demikian nilai x yang kita peroleh yaitu 1. Contoh 8 Soal Jika 3ˣ⁻²ʸ = 1/81 dan 2ˣ⁻ʸ = 16, maka nilai x + y Jawab Dengan menggunakan sifat-sifat persamaan eksponen, maka3ˣ⁻²ʸ = 1/813ˣ⁻²ʸ = 1/3⁴3ˣ⁻²ʸ = 3⁻⁴ ……………………… pers 1 2ˣ⁻ʸ= 162ˣ⁻ʸ = 2⁴ x – y = 4 ………………………….. pers 2 Dari pers 1 dan pers 2, diperoleh x – 2y = -4 x – y = 4 ___________ – -y = -8 y = 8 Nilai y dapat kita subsitusikan ke pers 1 atau 2, maka x – 2y = -4 y = 8 Jadi x – 28 = -4 x = -4 + 16 x = 12 ATAU x – y = 4 x – 8 = 4 x = 4 + 8 x = 12 Didapatkan nilai x = 12, dan nilai y = 8 Jadi, x + y = 12 + 8 = 20 Contoh 9 Soal Tentukan himpunan penyelesaian dari 9 x²+x = 27 x²-1 Jawab 9 x²+x = 27 x²-1 3 2x²+x = 3 3x²-1 2 x2+x = 3 x2-1 2x2 + 2x = 3x2 – 3 x2 – 2x – 3 = 0 x – 3 x + 1 = 0 x = 3 atau x = -1 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { -1,3 } Contoh 10 Soal Tentukan penyelesaian dari 2323x = 61-xJawab Basis pada kedua ruas persamaan di atas berbeda, begitu pula pangkatnya. Sehingga, berdasarkan sifat 3, maka akan diperoleh sebagai berikut Sifat-sifat logaritme yang akan kita gunakan pada contoh berikut 1. log an = n log a 2. log a + log b = log ab log 2323x = log 61-xx log 2323 = 1 – x log 6 x log 2323 = log 6 – x log 6 x log 2323 + x log 6 = log 6x log 2323 + log 6 = log 6x log 4 = log 6 x = log6log4log6log4x = 4log 6Sehingga penyelesaiannya adalah x = 4log 6 ***Pelajari juga sifat-sifat dari logaritme Contoh 11 Soal Tentukan himpunan penyelesaian dari 3x2-1 = 2x+1 Jawab Untuk menjawab soal ini, coba Gengs perhatikan kembali sifat nomor 3. Nahhhhh berdasarkan sifat tersebut log 3x2-1 = log 2x+1 x2 – 1 log 3 = x + 1 log 2 x + 1x – 1 log 3 = x + 1 log 2 Perhatikan bahwa ruas kiri mempunyai faktor x + 1 dan ruas kanan pun mempunyai faktor x + 1 ini menandakan bahwa ruas kiri akan sama dengan ruas kanan apabila x + 1 = 0 x + 1 = 0 x = -1 Saat x + 1 ≠ 0, maka x + 1x – 1 log 3 = x + 1 log 2 x – 1 log 3 = log 2 x log 3 – log 3 = log 2 x log 3 = log 2 + log 3 x log 3 = log 6 x = log6log3log6log3 x = 3log 6 Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {-1,3log 6} Contoh12 Soal Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan eksponensial berikut. 25 x+2 = 0,2 1-x Jawab 25 x+2 = 0,2 1-x 52x+2 = 5 -11-x 2x + 4 = -1 + x 2x – x = -1 – 4 x = -5 Jadi nilai x yang diperoleh yaitu -5 Contoh 13 Soal Jika 4ˣ – 4ˣ⁻ = 6 maka 2xˣ sama dengan ? Jawab4ˣ – 4ˣ⁻¹ = 64ˣ – 1/4 . 4ˣ = 63/4 . 4ˣ = 64ˣ = 82²ˣ = 2³ 2x = 3 x = 3/2 Sehingga,2xˣ = = 3ˣ =$3^{3/2}$ Contoh 14 Soal Diketahui a = 4 b = 2 dan c = 1/2. Tentukan nilai dari a⁻¹² . b⁴/c⁻³ Jawab Contoh 15 Soal Tentukan himpunan penyelesaian dari x – 44x = x – 41+3xJawab Untuk menjawab soal ini, Gengs perhatikan kembali sifat nomor 6. Misalkan fx = x – 4, gx = 4x dan hx = 1 + 3x Solusi 1 gx = hx 4x = 1 + 3x x = 1 Solusi 2 fx = 1 x – 4 = 1 x = 5 Solusi 3 fx = -1, gx dan hx keduanya genap/ganjil. x – 4 = -1 x = 3 Periksa Untuk x = 3 maka gx = 43 = 12 hx = 1 + 33 = 10 Karena keduanya genap, maka x = 3 memenuhi. ***Jika seandainya keduanya ganjil, maka x = 3 juga memenuhi. Namun, jika salah satu genap dan yang lain ganjil maka x = 3 tidak memenuhi. Solusi 4 fx = 0, gx dan hx keduanya positif. x – 4 = 0 x = 4 Periksa Untuk x = 4 maka gx = 44 = 16 hx = 1 + 34 = 13 Karena keduanya positif, maka x = 4 memenuhi. ***Jika seandainya salah satu atau keduanya bernilai ≤ 0, maka x = 4 tidak memenuhi. Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah {1, 3, 4, 5} Contoh 16 Soal Akar-akar persamaan – + 18 = 0$ adalah x₁ dan x₂. Nilai x₁ + x₂ adalah Jawab Dengan menggunakan sifat-sifat persamaan eksponen, maka – + 18 = 0 3²ˣ – + 9 = 0 3²ˣ – 93²ˣ – 1 = 0 3²ˣ = 9 atau 3²ˣ = 1 3²ˣ = 3² atau 3²ˣ = 3⁰ 2x = 2 atau 2x = 0 x = 1 atau x = 0 Jadi x₁ + x ₂ = 1 + 0 = 1 Contoh 17 Soal Cari himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen 3²ˣ⁺² + -1 = 0 Jawab 3²ˣ⁺² + – 1 = 0 3²ˣ 3² + – 1 = 0 3ˣ² 3² + 8. 3ˣ – 1 = Langkah selanjutnya yang perlu kita lakukan yaitu faktorkan persamaan kuadrat yang telah kita peroleh dengan memisalkan 3ˣ = a9a² + 8a -1 = 0[9a-1][a+1] = 0 9a-1 = 0 9a = 1 a = 1/9 atau a + 1 = 0 a = -1 kembali ke permisalan awal 3ˣ = aJika 3ˣ = 1/9 maka x = -2Jika 3ˣ = -1 [tidak memenuhi] Sehingga nilai x yang memenuhi adalah -2 Contoh 18 Soal Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 3x – 22x+3 = x2 + 2x + 42x+3 Jawab Berdasarkan sifat 5, persamaan eksponen di atas akan mempunyai tiga kemungkinan solusi. Solusi 1 Basis kiri sama dengan basis kanan x2 + 3x – 2 = x2 + 2x + 4 3x – 2 = 2x + 4 x = 6 Solusi 2 Basis berlainan tanda dengan syarat pangkatnya genap x2 + 3x – 2 = -x2 + 2x + 4x2 + 3x – 2 = -x2 – 2x – 42x2 + 5x + 2 = 02x + 1x + 2 = 0x = -1/2 atau x = -2 Periksa Untuk x = -1/2 → 2x + 3 [bernilai genap]Untuk x = -2 → 2x + 3 [bernilai ganjil] Jadi, yang memenuhi adalah x = -1/2 Solusi 3 Pangkatnya sama dengan nol, dengan syarat kedua basisnya tidak sam dengan nol 2x + 3 = 0 x = -3/2 Periksa x2 + 3x – 2 ≠ 0x2 + 2x + 4 ≠ 0 Karena keduanya ≠ 0, maka x = -3/2 [memenuhi] Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {-3/2, -1/2, 6} Jadi itulah tadi contoh-contoh soal mengenai persamaan eksponen. Jika ada yang masih kurang paham, silahkan tinggalkan komentar dibawah. Terima Kasih. Semoga Bermanfaat sheetmath Jawaban yang benar adalah {2, 3, 4}Ingat pada persamaan eksponen fx^gx = fx^hxberlaku i gx = hxii fx = 1iii fx = -1 dengan syarat gx dan hx keduanya genap atau keduanya ganjiliv fx = 0 dengan syarat gx dan hx positifPersamaan ax² + bx + c = 0 tidak memiliki penyelesaian jika b² – 4ac 0h3 = 3²+3−5 = 9 + 3 – 5 = 7 > 0Karema g3 dan h3 keduanya positif, maka x = 3 merupakan penyelesaian persamaan tersebut. Jadi himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {2, 3, 4}

tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan eksponen berikut